给未来几何和拓扑学家的阅读建议

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“你们的事业的成长,应该像一棵树的成长一样,应该是顺其自然、无间断和全面的。我希望你们的根能够在这个学院的肥沃土地下面尽量深入,以使你们的树干长得既粗且壮。这样,将来无论树叶多么茂盛丰满,也永不会有水分供应不暇的毛病。在上空将不时会有狂风大雨,也会有行雷闪电。所以切勿长得太快太高1。”

下面,我仅仅列出标题和作者;全部细节可以在文献目录里找到2。某些作品被列进来仅仅因为他们与主题高度相关,而我相信他们值得引起你的注意(即使他们并不是我的菜)。然而大多数作品被列进来是因为我认为他们如珍宝一般,而我向你强烈推荐它们。许多其他极好的书躺在我的书架上,我也经常寻求他们的建议,然而他们并没有被包括进来,仅仅因为我努力把这个(已经很长的)书单削减到可管理的长度—-我向这些伟大作品的作者感到道歉。最后,我也对我还没有发现的伟大作品的作者先说一句抱歉!

整体推荐

首先,让我用我认为非常有价值的六部作品来做铺垫,每部作品的内容都是 涵盖了本书的多个章节。

The Road to Reality, by Roger Penrose (罗杰。彭罗斯).

一部几乎涵盖所有物理学和大部分数学的非凡全景图,由这两个领域的大师撰写。许多见解只有在这里才能找到,而且这些见解被彭罗斯出色的(和美丽的!)手绘赋予了生命。

Gravitation, by Misner, Thorne, and Wheeler.

在1973年首次出版后的近50年里,这部经典之作仍然是对爱因斯坦的几何引力理论(广义相对论)和它所依据的微分几何的最好介绍之一。它也包含了对微分形式的最好的、最具几何性的介绍之一,包括允许人们有效计算黎曼张量的曲率2-forms。普林斯顿大学出版社的新版(2017年)做得很好,并包含了Charles Misner和Kip Thorne的新介绍,讨论了自该书出版以来该领域令人兴奋的发展。

Differential Geometry in the Large, by Heinz Hopf.

Hopf不仅是二十世纪数学界的杰出人物之一,也是一位论述的大师。在这里,微分几何学和拓扑学的思想(其中许多是由Hopf本人提出的)以一种美丽的方式汇集在一起,以非凡的清晰度和简单性进行解释。每当我再次阅读这本《大师作品》,我就觉得有位仁慈的魔术师在书中插入了更多美妙的想法,因为我发誓,在我上次看的时候,这个美丽的想法还没有出现在书页上!"。

Elementary Differential Geometry (revised 2nd edition), by Barrett O’Neill.

这本开拓性的书于1966年首次出版,开创了在本科阶段使用微分形式的先河。半个多世纪后的今天,在我看来,O'Neill的作品仍然是本科阶段对这一主题唯一最清晰、最优雅、最现代(讽刺吧?)的处理方式(除了当代的同类书籍!)。

Geometrical Methods of Mathematical Physics, by Bernard Schutz.

这部作品(现在已经有40年的历史了!)是一个永恒的宝库,涵盖了流形、张量、李导数和李群、形式、黎曼几何、规整理论以及其他大量的物理学应用。为了实现这一目标,Schutz教授成为了《星际迷航》中的斯波克先生。他的另一半瓦肯人格使他能够建立一个完美的晶体逻辑结构,其中每一件事都被简明而严格地证明,而且–与我在本书中的(我希望是美味的)芝士汉堡方法不同–犹太教规被严格遵守:依赖于公制存在的概念被严格而明确地与那些不依赖于公制的概念分开。但是,与此同步,Schutz能够利用他的另一半人格来提供丰富的直觉,揭示出潜在的几何现实。

Mathematics and Its History (3rd edition), by John Stillwell.

通过历史的视角,对所有的数学进行了一次出色的全景展示。但不要误解,这主要不是一本关于历史的书,相反,它从根本上是一本关于数学本身的相互联系和意义的作品,所有这些都以一种相当简洁的风格(相对于我来说!)来解释,具有深刻的洞察力和清晰的思路。

一般几何学推荐

以下作品涉及一般的几何学,尤其是双曲几何学。(微分几何学有它自己的类别)。

Geometry and the Imagination, by David Hilbert and S. Cohn-Vossen.

这是20世纪最伟大的数学家之一对几何学进行的一次宏伟而深刻的调查,重点在于直观的理解。这些图表(由K.H.Naumann和H.Bödeker绘制)具有令人惊叹的美,令我羡慕不已。

Experiencing Geometry, by David W. Henderson and Daina Taimina.

一个非常不寻常的方法,在哲学上类似于我的方法(但使用Moore方法),专注于几何学的直观、实验性调查。它包含对平行移动和整体性的重要讨论。他们的方法与我的方法的重叠在序言中的这段引文中得到了明确。"本书是基于这样一种观点:证明是一种令人信服的交流,它回答了为什么?(重点在斜体字)。(原文引号中为“This book is based on a view of proof as a convincing communication that answers—Why?”,其中a convincing communication that answers–Why? 为斜体。)

Introduction to Geometry (2nd edition), by H.S.M. Coxeter.

精彩清晰的评述,出自一位当代大师之手。

Geometry, by Brannan, Esplen, and Gray.

一本优秀的现代几何学概览,基于克莱因对变换群的看法。

Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, by Marvin J. Greenberg.

这是一部有价值的、详细的双曲几何学发展史,包括对Gauss、Bolyai和其他许多人的关键性私人信件的长篇引用。

The Poincaré Half-Plane, by Saul Stahl.

标题说明了一切。

Geometry Revealed, by Marcel Berger.

高级得多的几何学评述,出自20世纪最伟大的几何学家之一,重点是概念性的证明和未解决的问题。

拓扑学

Intuitive Topology, by V. V. Prasolov.

不到100页的篇幅,而且充满了图表,这本超级友好的入门书不愧于它的标题!

Euler’s Gem, by David S. Richeson.

对欧拉的多面体公式的历史和相关的数学思想进行了精湛的、数学上准确而又引人入胜的描述。

Surface Topology, by P. A. Firby and C. F. Gardiner.

一本非常友好、图文并茂的介绍拓扑学的基本 几何 思想的书。

First Concepts of Topology, by W. G. Chinn and N. E. Steenrod.

另一本非常友好、图文并茂的介绍拓扑学的基本 几何 思想的书。

Topology: A Very Short Introduction, by Richard Earl

这本了不起的小书没有辜负它的标题,在短短140页中涵盖了大量的基础观点,而且它以非常清晰、初等、非正式的风格做到了这一点。这是我对这一主题新的最喜欢的介绍。

The Shape of Space (3rd edition), by Jeffrey R. Weeks.

本书是对二维和三维空间的拓扑学进行的一次奇妙的清晰的、令人着迷的、初等的处理。本书四部分中的最后一部分是关于检测宇宙的拓扑的可能性! 附录中包含了John Horton Conway著名的表面分类定理的ZIP证明,由乔治-K-弗朗西斯提供精美的插图。

Three-Dimensional Geometry and Topology, by William P. Thurston.

瑟斯顿因发现3流形从根本上是由双曲几何建立起来的而获得菲尔兹奖。在这本书中,你将看到瑟斯顿独特的论述,尽管拓扑学的难度迅速增加,但前100页提供了一个相对初级的、高度原创的双曲几何介绍,不容错过。

Hopf 的场线(Line Field)和物理学中的Poincaré–Hopf定理

在本书中,我力图引起人们对线场和Hopf的美丽结果的注意,即Poincaré–Hopf定理也适用于它们,((19.9),第213页)。这些观点几乎已经从现代数学教科书中消失了,我强烈认为现在已经到了复兴的时候。尽管如此,物理学家们从未忽视过这些思想的价值,他们用精彩的新发现维持着这些思想。

在这里,我不得不列出研究论文而不是说明性的教科书。我所知道的唯一阐述性的数学处理方法是霍普夫(1956)本人的讲座(见前文),以及他的学生斯托克(1969)的书。尽管对光学的最新贡献明确地引用了霍普夫的工作–甚至把分数指数称为 "霍普夫指数"–这些想法是由J.F.Nye和后来的迈克尔-贝里爵士提出的,他们似乎都不知道霍普夫(1956)。(注意:在阅读这些论文时,重要的是要理解数学家称之为整体性的东西,物理学家有时称之为非整体性的东西!)

  • The Topology of Ridge Systems, by Roger Penrose.

    一个完全初级的介绍(对非数学家而言),以指纹和掌纹为例,介绍了这一思想圈,因为这些确实是线状领域!"。

翻译说明

  • 这是对Needham新书Visual Differential Geometry and Forms的附录的翻译,我将其视为给未来几何和拓扑学家绝佳的阅读建议。

  • 书名和作者名未译出,方便查找。

  • 文中的“形式”原文为Forms,应该理解为微分形式。

  • 较著名的人物使用中文译名,不太知名的名字未翻译。当然这也看我自己喜好。

Footnotes

1伍鸿煦先生的他的《黎曼几何初步》里引用过的一段话,这段话是当代英国演员罗伦士奥利维亚在1947年Old Vic戏剧学院开幕典礼中,向学生致辞的一部分。

2见作者的书Visual Differential Geometry and Forms中的参考文献目录。